Paradoxo de Benach-Tarski
Há milênios, a matemática nos ajuda a compreender o mundo. Seja para contar o número de ovelhas em um rebanho, ou para criar algoritmos de criptografia que protegem as transações bancárias, sempre pudemos contar com a matemática para nos orientar nas atividades mundanas. Mesmo nos casos onde encontramos resultados absurdos (como 1+1=3), supomos que o matemático errou as contas; afinal, a matemática nunca erra. Mas e se, em algum momento, um matemático provasse um resultado tão bizarro que desafiasse o próprio senso comum e a noção de realidade, como deveríamos agir? Afinal de contas, a matemática nunca erra, certo? Mas e se, por exemplo, ela concluísse que é possível rasgar uma nota de cem reais e obter outras duas idênticas — o que sabemos ser impossível —, devemos concluir que ela está errada? Aos que argumentam que esse exemplo foi péssimo, pois a matemática jamais demonstraria algo do tipo, trago um paradoxo um tanto singular que, embora mais modesto, mostra que, às vezes, a matemática dá resultados que contrariam aquilo que conhecemos como realidade. O Paradoxo de Banach–Tarski afirma que é possível decompor uma esfera de volume finito em outras duas esferas idênticas à original! Apesar de ser chamado de paradoxo, trata-se de um teorema matemático. Como se imagina, sua demonstração é deveras complexa e envolve conceitos bastante abstratos da teoria dos conjuntos. No entanto, para fins didáticos, utilizaremos uma demonstração “ingênua” que busca transmitir a ideia central do teorema de maneira intuitiva, ainda que sem rigor matemático. O primeiro passo consiste em encontrar uma forma de caracterizar todos os pontos de uma esfera de volume finito. Por meio da clarividência, adotaremos a seguinte ideia: se pintarmos cada ponto da superfície da esfera, podemos estender cada marcação com uma reta até o centro da figura (tal como um ouriço-do-mar). Consequentemente, a esfera passa a ser caracterizada apenas pelos pontos em sua superfície; dessa maneira, reduzindo drasticamente a dificuldade do desafio. O próximo passo é atribuir uma coordenada a cada ponto dessa superfície. Inspirados no mecanismo de localização dos pontos da superfície da Terra, que é dada pela latitude e longitude, podemos adotar a seguinte abordagem: no centro do “mapa”1 da esfera, desenhamos duas retas: uma no eixo norte-sul (N-S) e outra no eixo leste-oeste (L-O). Dessa maneira, podemos localizar qualquer ponto na superfície da esfera por meio dos movimentos nessas duas direções. Antes de prosseguirmos, precisamos destacar algumas sutilezas do método que estamos utilizando. Para tal, considere o seguinte exemplo: um determinado ponto no mapa pode ser alcançado movendo-se uma vez para o norte e, em seguida, duas vezes para o leste. Nesse caso, adotaremos a nomenclatura LLN2 para identificá-lo. No entanto, se o próximo movimento fosse para oeste, ele cancelaria um dos movimentos para leste. Portanto, a sequência resultante de OLLN é LN. Desta forma, concluímos que movimentos na mesma direção e em sentidos opostos se anulam. Com essas ressalvas em mente, podemos, agora, definir cada ponto da superfície da esfera por uma dessas sequências; consequentemente, como há infinitos pontos, haverá infinitas sequências. Para simplificar a análise do problema, podemos organizar essas sequências em quatro grandes grupos: um em que a sequência termina em N, outra em S, outra em L e outra em O. Neste ponto está a chave da análise: como o número de pontos é infinito, há infinitas sequências em cada grupo; consequentemente, dentro de cada grupo, encontram-se todas as sequências possíveis que terminam com o movimento específico do grupo – com exceção daquelas que envolvem a direção oposta. Agora (finalmente!), temos todos os elementos necessários para demonstrar o teorema. Comecemos separando os 4 grupos. Em seguida, tomamos o grupo N, o qual tem alguns de seus elementos ilustrados a seguir: NN, NNN, NNN, … NO, NOO, NOO, … NL, NLL, NLL,… O próximo passo consiste em aplicar um movimento S a todos os elementos desse grupo, gerando o seguinte conjunto: SN, SNN, SNNN, … SNO, SNOO, SNOOO, … SNL, SNL, SNLLL, … No entanto, conforme estabelecido anteriormente, um movimento para o sul (S) cancela um movimento para norte (N). Aplicando essa regra, cada sequência do novo conjunto se simplifica para: N, NN, NNN, … O, OO, OOO, … L, LL, LLL, … Perceba, portanto, que essa operação transformou o grupo N original em elementos dos grupos O, L e N. Se tomarmos essa nova coleção e adicionarmos o grupo inicial S, obtemos uma configuração que corresponde a uma cópia completa de todos os pontos da esfera original. Neste ponto, alguns dos leitores atentos (imagino) perceberam que, além da cópia da esfera original, ainda há os grupos O e L que, sozinhos, não possuem grande relevância. No entanto – aqui entra a parte fantástica -, se repetirmos o processo descrito no grupo O (ou L), conseguimos gerar novamente os grupos N, S, L (ou O) e, portanto, reconstruir mais uma esfera completa (tente demonstrar!). Ao fim dessa tortuosa série de lógicas, enfim, mostramos que podemos construir, a partir de uma única esfera, outras duas idênticas. O paradoxo foi provado. Diante dessa confirmação, imagino e espero que muitos leitores devam estar perplexos com esse resultado; afinal, por mais que acabemos de provar, ninguém jamais observou ou produziu duas esferas a partir de uma única. Se a matemática descreve a realidade, como algo tão inverossímil pode ser verdadeiro? Neste momento, devemos nos lembrar de que, embora seja fruto da nossa necessidade de compreender o mundo, a matemática não está acorrentada a ele. Frequentemente, ela se depara com ideias que sequer podem ser descritas no mundo real. Por exemplo, uma formulação alternativa do Paradoxo de Banach-Tarski afirma ser possível transformar uma esfera do tamanho de uma pêra em outra do tamanho do Sol. No entanto, para isso, é necessário decompor a pêra em partes tão bizarras, tão além da nossa intuição, que algumas sequer teriam qualquer medida de tamanho. No fim, talvez sejamos nós que, na brevidade de nossas vidas e na limitação do nosso entendimento, jamais compreenderemos realmente a relação dual entre matemática e realidade. Autor: Gabriel Mufatto. Referências GAMA, Lucas Barbosa. O paradoxo de Banach-Tarski. 2016. Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Matemática) — Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal Fluminense, Volta Redonda, 2016. Tem Ciência. PARADOXO de Banach-Tarski: o mais ESTRANHO da Matemática!. Youtube Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=6O357axfNjg. Acesso em: 2 fev. 2026. Vsauce. The Banach–Tarski Paradox. Youtube. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA. Acesso em: 2 fev. 2026. 1. No sistema de coordenadas geográficas, transforma-se uma esfera em um mapa plano. 2. Como estamos lidando com uma esfera, cada movimento corresponde a uma rotação, a qual pode ser descrita por uma matriz. Nesse caso, as rotações seguem a convenção matricial, sendo lida da direita para a esquerda.
