A Conjectura de Goldbach
Apesar dos avanços muito extensivos da matemática ao longo da história, existem alguns problemas que, até os dias atuais, permanecem sem solução. Essas questões desafiam os limites do conhecimento, e o estudo acerca delas gera, frequentemente, avanços para a matemática e para a ciência. Um dos mais famosos desses problemas é a chamada conjectura de Goldbach.
Primeiramente, convém definir uma conjectura: “suposição, hipótese ou ideia que ainda não foi comprovada como verdadeira” [1]. Ou seja, trata-se de uma afirmação que os matemáticos acreditam ser verdadeira, mas ainda não foram capazes de provar (ou falsear). Esse é o caso do problema que intitula este texto, proposto pelo matemático prussiano Christian Goldbach (1690-1764), em correspondências com Leonhard Euler (1707-1783), no ano de 1742. A afirmação de Goldbach (como geralmente é apresentada) é a seguinte: “todo número par maior que 2 pode ser representado pela soma de dois números primos” [2, 3].
Não apenas o brilhante Euler não conseguiu provar essa afirmação aparentemente simples, como nenhuma pessoa até o momento em que esse texto foi escrito. O leitor pode verificar facilmente, para números pequenos, a validade da afirmação: quatro é igual a dois mais dois, seis é igual a três mais três, oito é igual a cinco mais três, e assim sucessivamente. Caso consiga, no entanto, provar que isso ocorre para todo número par maior que dois, ou então encontrar um único número par maior que dois para o qual isso não ocorre, terá resolvido um dos problemas mais antigos que persistem na matemática.
A conjectura de Goldbach ganhou grande notoriedade quando a editora Faber & Faber ofereceu um prêmio de um milhão de dólares a quem fosse capaz de solucioná-la. Isso ocorreu em 2000, como uma forma de promoção do livro “Tio Petros e a Conjectura de Goldbach”, cuja tradução para o inglês estava sendo publicada pela editora. O livro, escrito por Apostolos Doxiadis, foi originalmente publicado em russo em 1992. Trata-se de um romance que narra a história de um matemático que dedicou a vida à resolução do inocente problema surgido nas cartas de Goldbach e Euler. É preciso informar, no entanto, que o prêmio milionário já não é mais válido, visto que a editora colocou o prazo de dois anos para a apresentação de uma solução [4].
Uma variação, chamada conjectura fraca de Goldbach, afirma que “todos os números ímpares maiores que 7 são a soma de três primos ímpares”. Essa variação é chamada de “fraca” porque a demonstração da conjectura original implicaria a demonstração da segunda também. Uma prova para a conjectura fraca foi apresentada em 2013 pelo matemático peruano Harald Helfgott, e tem sido revisada e incrementada desde então, mas aparenta ser uma solução definitiva [3, 5]. Quanto à conjectura “forte” original, o maior avanço obtido até o momento ocorreu em 1995, quando o matemático francês Olivier Ramaré provou que todo número par é a soma de, no máximo, seis números primos [3].
Computadores já verificaram a afirmação de Goldbach para todos os números pares até , evidentemente, sem encontrar nenhum contraexemplo [6]. É curioso como uma afirmação tão simples pode ser tão difícil de demonstrar: mesmo que tenhamos todas as razões para acreditar que seja, depois de tantos anos, ainda não é possível afirmar que ela é, com certeza, verdadeira.
Autor: Angelo Zanona Neto.
Referências:
[1] Uma (quase) certeza – Conjectura de Goldbach. Mentalidades Matemáticas. Disponível em: https://mentalidadesmatematicas.org.br/uma-quase-certeza-conjectura-de-goldbach/. Acesso em 25 de março de 2025.
[2] Toda a Matemática. CURIOSIDADES – 06 – Conjectura de Goldbach. YouTube. 2022. Disponível em: https://youtu.be/ZkZdaroztyE?si=xDtyCYinFcg1n1G6. Acesso em 25 de março de 2025.
[3] Conjectura de Goldbach. Só Matemática. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/curiosidades/c118.php. Acesso em 25 de março de 2025.
[4] AHUJA, A. A million-dollar maths question. The Times, 2000. Disponível em: https://www.math.tugraz.at/~elsholtz/WWW/papers/papers14faber.html#:~:text=Faber%20offers%20one%20million%20dollars%20for%20proof%20of%20Goldbach%20conjecture&text=If%20any%20numbers%20genius%20can,promises%20to%20pay%20%241m. Acesso em 25 de março de 2025.
[5] HELFGOTT, H. A. The ternary Goldbach conjecture is true. Preprint, submetido a 17 jan 2014. Disponível em: https://arxiv.org/pdf/1312.7748. Acesso em 25 de março de 2025.
[6] SILVA, T. O. Goldbach conjecture verification. Disponível em: https://sweet.ua.pt/tos/goldbach.html. Acesso em 25 de março de 2025.
[7] Imagem retirada de https://images.fineartamerica.com/images/artworkimages/mediumlarge/2/goldbachs-conjecture-robert-brookscience-photo-library.jpg. Acesso em 25 de março de 2025.
