Uma jornada pela conquista do infinito

   O que é o infinito? Desde a Grécia Antiga existiam diversas especulações quanto esse tema, inúmeras respostas tentando explicar algo aparentemente simples. Mas a complexidade do infinito desafiou matemáticos durante séculos devido a quantidade enorme de paradoxos que surgiam quando novas ideias eram formadas. As respostas vagas a essa pergunta perduraram até o Renascimento, época em que as descobertas acerca do infinito se tornaram constantes. O cientista que mais contribuiu para o estudo do infinito foi Georg Cantor, o qual introduziu a ideia de “contar infinitos” por meio da cardinalidade [1, 2].

   Zenão, do período da Grécia Antiga, formulou um paradoxo muito conhecido: da dicotomia, o qual mostra a impossibilidade da divisão da matéria até ao infinito, ou seja, um objeto que tenha que percorrer uma distância L, por exemplo, deve primeiramente andar a metade da distância (L/2), mas antes disso deve percorrer um quarto (L/4) e assim por diante. Percebe-se, assim, que em termos teóricos há uma infinidade de subdivisões a serem percorridas para chegar no final desejado. Dessa maneira, o movimento é impossibilitado quando analisado por esse ponto de vista [2,3].

   Ainda na Grécia Antiga, para contornar o problema do infinito os gregos da escola platônica utilizavam do método da exaustão¹, este, como o próprio nome sugere, exaustivo e que demandava tempo demais. Posteriormente, no entanto, esse método contribuiu para a formação do conceito de limite [2,4].

   Já na Idade Média, existiam poucos registros sobre estudos acerca do infinito, os principais se situavam no final do período, no qual as ideias escolásticas sobre o termo estavam presentes. Essas ideias foram retomadas e auxiliaram na formulação do cálculo infinitesimal no século XVII [2].

   Sem dúvida, o século que mais teve conquistas desde a Grécia Antiga para responder às questões do infinito foi o século XVII. Foi nessa época que Galileu Galilei formulou uma correspondência de um a um entre os números inteiros e os quadrados perfeitos (1, 4, 9, 16, …), ou seja, pode-se associar um elemento do conjunto dos números inteiros a um do conjunto dos quadrados perfeitos sem que “sobrem” associações, assim, o todo é igual à parte. No entanto, o cientista não acrescentou informações sobre terem o mesmo “tamanho”, ou seja, o mesmo cardinal², na verdade, até rejeitou essa ideia, afirmando não ser possível comparar seus tamanhos. Além disso, nesse período, Newton e Leibniz foram cruciais para o desenvolvimento do cálculo infinitesimal, com tantas utilizações na atualidade [1,2].

   No século XVIII, os matemáticos começaram a, lentamente, abandonar o conservadorismo na área. Parte dessa mudança se deve a Revolução Francesa, a qual motivou a construção de novas ideias e concepções. Essa época foi importante para a matemática pura, isto é, a ciência não era apenas aplicada, mas deveria ser analisada e pensada de forma metódica. Bolzano, nessa época, procurou por um método de comparação entre conjuntos infinitos e, observando os estudos de Galilei sobre a correspondência entre os números inteiros e os quadrados perfeitos, concluiu que sempre há correspondência entre um conjunto infinito e um subconjunto próprio dele³. Contudo, afirmou que uma bijeção⁴ entre esses conjuntos não era suficiente para atestar a mesma cardinalidade [1,2].

   Os dois grandes nomes dos cientistas que ajudaram a conquistar o infinito são: Dedekind e Cantor. O primeiro conseguiu uma relação biunívoca entre os pontos de uma reta e os números reais, formalizando o conceito de finitude: quando não há bijeção entre o todo com sua parte, isto é, do conjunto com um subconjunto próprio. Cantor desenvolveu, por sua vez, a teoria dos números cardinais transfinitos. Os números transfinitos são utilizados para a contagem de elementos de um conjunto infinito. Assim, Cantor foi o responsável por mostrar que existem infinitos maiores que outros, impactando a sociedade acadêmica da época [2].

   Além disso, Georg mostrou que existiam os conjuntos infinitos enumeráveis, com os quais é possível estabelecer uma relação biunívoca com os números naturais e os não-enumeráveis. O matemático provou que o conjunto dos racionais é enumerável e, por outro lado, que o conjunto dos números reais é não-enumerável. Para essa última prova, utilizou-se do famoso método da diagonal de Cantor [1,2].

   Dos estudos de Georg, surgiu uma pergunta intrigante que, posteriormente, foi chamada de Hipótese do Continuum. Para entender essa hipótese, devemos entender que o cardinal dos números reais é estritamente maior que o cardinal dos números naturais. A conjectura afirma que não existe nenhum cardinal entre esses dois. Cantor tentou durante anos, sem sucesso, provar esse problema e morreu com demência em um hospício, em 1918. Foi apenas em 1963 que Paul Cohen demonstrou que a Hipótese poderia ser verdadeira e falsa, a depender da matemática utilizada [1].

   Nos dias atuais, o conceito de infinito está bem definido e formalizado e é amplamente aceito pela comunidade científica. No entanto, para chegarmos onde estamos hoje, pode-se perceber que o caminho foi longo e houveram diversos debates entre mentes brilhantes da Matemática. Como pontua David Hilbert:

“Ninguém nos expulsará do paraíso que Georg Cantor abriu para nós.”

1. Método de exaustão: técnica para determinar a área de uma região, inscrevendo nela outra figura poligonal com diversos lados e área conhecida, a fim de obter uma boa aproximação e facilitar o cálculo.
2.  Cardinalidade: noção da quantidade de elementos de um conjunto.
3. Subconjunto próprio: Se A e B são conjuntos, A é subconjunto próprio de B se cada elemento de A está em B, mas existe algum elemento em B que não está em A.
4. Bijeção: Correspondência biunívoca, ou seja, de um-a-um entre os elementos dos dois conjuntos. Uma função é bijetora quando for injetora e sobrejetora.

Autora: Rieli Tainá Gomes dos Santos

Referências:

[1] CARREIRA ANDRADE, Maria Gorete. Um breve passeio ao infinito real de Cantor. João Pessoa – PB:UFPB, 2010 v. 1, p. 1-10.

[2] SAMPAIO, Patrícia Alexandra. Infinito, uma história a contar. Repositório Científico do Instituto Politécnico de Viseu. Revista Millenium, nº 34, abril de 2008.

[3] ÁVILA, Geraldo. O paradoxo de Zenão. Revista do professor de matemática, nº 39.

[4] TREVISAN, André; GOES, Higgor. O Método da Exaustão e o cálculo de áreas: proposta e uma tarefa com auxílio do Geogebra. Educação Matemática em Revista. 2016 v. 52. 79-85.