Teorema da Incompletude de Gödel
Está cada vez mais difícil acreditar no que lemos, ouvimos e vemos. Centenas de milhares de notícias falsas – as chamadas Fake News – são espalhadas pela mídia dia após dia. Se não acreditas, basta olhar em seu celular: em pouco tempo, verá exemplos de como a desinformação tem sido usada para propagar ódio e ideologias.
“Mas o que isso tem a ver com matemática?” Você pode estar se perguntando. “Não foi sobre isso que eu vim ler.”
De fato, a matemática parece existir em um universo completamente diferente – sem incertezas, sem meias verdades, longe do caos da informação midiática. No entanto, na prática, apenas nos limitamos a confiar que ela não gera ambiguidades. Pense a respeito: o que garante que todas as afirmações da matemática são verdadeiras?
Matemáticos ao longo da história tentaram responder à questão, sem nunca terem chegado a um consenso. No entanto, tudo começou a mudar quando David Hilbert seguiu seu sonho mais ambicioso: unificar toda a matemática. A intenção era de poder construir todo o conhecimento matemático – presente ou futuro – a partir de um conjunto finito de axiomas. Dessa forma, qualquer afirmação poderia ser rigorosamente provada ou refutada, formando um conjunto de verdades matemáticas absolutas [1-3].
Mesmo com uma beleza ímpar, o sonho de Hilbert não tardou a ser arruinado por Kurt Gödel, que provou um dos teoremas mais importantes da matemática: é impossível um conjunto de axiomas suficientemente complexo ser completo e consistente. Palavras bonitas à parte, podemos entender o teorema da seguinte forma: sempre existirão afirmações matemáticas (teoremas) que não podem ser provadas (ou negadas) dentro de um conjunto específico de axiomas. Porém, nada impede que a asserção seja realmente verdadeira, mesmo que nunca consigamos demonstrá-la. Portanto, existem verdades (matemáticas) que nunca poderão ser provadas. Portanto, a matemática é incompleta: há limites para o que ela pode provar, e certas perguntas permanecem sem resposta – sugiro que contemple esse resultado por um instante [1-3].
Mesmo sendo magnífico, muitos dos leitores podem estar se questionando sobre a aplicabilidade do teorema da incompletude de Gödel. Afinal, à primeira vista, ele parece afetar apenas os sistemas axiomáticos. No entanto, lembre-se que a matemática está na base do conhecimento humano: sem ela, a ciência moderna sequer existiria. Assim, a própria ciência, em princípio, também está sujeita às limitações apontadas por Gödel. A conclusão imediata é que, novamente em princípio, nunca alcançaremos um conhecimento absoluto da natureza. A tão buscada “teoria de tudo” pode, simplesmente, ser inalcançável [4,5].
Apesar de ser uma conclusão um tanto triste e desoladora, cientistas como Stephen Hawking e Freeman Dyson argumentam que ela pode, na verdade, ser uma ótima notícia para a ciência. Afinal, se nunca alcançarmos o conhecimento pleno, sempre haverá algo novo para estudar e investigar [4,5]. A ciência, assim, jamais chegará ao seu fim – poético, não acha?
Talvez o teorema de Gödel diga muito sobre a própria humanidade. Para Roger Penrose, por exemplo, nossas mentes nunca poderão ser simuladas em perfeição por computadores, que estão restritos pelos resultados de Gödel a jamais ultrapassam um certo nível de conhecimento. Em contrapartida, os mecanismos de operação da mente não teriam essa limitação. Nossos cérebros não poderiam ser reduzidos a um simples conjunto de regras e axiomas [3].
Como podemos perceber, as implicações do teorema de Gödel atuam de forma silenciosa no cotidiano, moldando até mesmo nossa interpretação da realidade. Independentemente do que isso signifique, é inegável que esse resultado é, no mínimo, magnífico — um lembrete da elegância e dos limites intrínsecos ao conhecimento humano.
Autor: Gabriel Vinicius Mufatto.
Referências
[1] Gödel, o matemático que ousou levantar o braço quando todos se calaram. Disponível em: https://www.nationalgeographic.pt/historia/godel-o-matematico-que-ousou-levantar-o-braco-quando-todos-se-calaram_1304. Acesso em: 27 abr. 2025.
[2] Tem ciência. Incompletude de Gödel: a Matemática NÃO é Perfeita. [Vídeo]. YouTube, 2023. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=aSXEd5iNVGo. Acesso em: 27 abri. 2025.
[3] PENROSE, R. Sombras da Mente: uma busca pela ciência perdida da consciência. São Paulo: Editora Unesp (FEU). 2021
[4] BARROW, J. D. Gödel and Physics. Cambridge: DAMTP, Centre for Mathematical Sciences.
[5] HAWKING, S. Gödel and the End of Physics. Texas A&M University.
