O que são os números

   Se eu lhe pedisse para dizer quantas palavras acabou de ler, imagino que não teria dificuldade em falar que foram 11. Nesse instante talvez você tenha se lembrado  que deixou 11 exercícios em haver da sua lista de cálculo. Mas, se questionado sobre o que é esse número, o que significa dizer 11, talvez não consiga responder com tamanha tranquilidade como a pouco. Se analisarmos esta questão em um contexto geral, poderíamos supor que usamos por anos, com naturalidade, símbolos que nem sequer conhecemos o significado. 

   Um argumento provável, e um tanto quanto válido, para elucidar esse questionamento, seria definir um número como sendo a quantidade desse número em algo – “ Quando eu digo três, significa que eu tenho três airpods, celulares e afins”. Dessa forma, nós sabemos o que são números, o senso comum nos mostra o que eles são. Se analisados os pormenores dessa afirmação, contudo, nota-se que para definir o que eles são, usou-se eles mesmos.

   Entretanto, não é necessário ficar abatido, afinal esse entendimento sobre o que são os números, de fato, possui raízes históricas que levam a sua definição. Dessa forma, permita sua mente viajar a 20 mil anos atrás para que resolva o seguinte problema: Como saber se a quantidade de seus carneiros a noite é a mesma do que pela manhã? Lembre-se, nessa época, não existiam sistemas numéricos para auxiliá-lo. 

   Uma opção seria separar uma pedra para cada animal, de tal forma, que se alguns carneiros se perdessem, algumas pedras não teriam um correspondente. Assim, o fato de poder associar um elemento a outro, (cabritos a pedras), numa espécie de “contagem” primitiva, sem nem ao menos utilizar números, garantiu a sua sobrevivência em mais um noite, acompanhado de uma sopa um tanto quanto especial. 

   Essa característica de associação , oriunda de situações comum aos nossos antepassados,  levou Gottlob, exímio matemático do século XIX, a formular os primeiros axiomas que originariam uma das primeiras definições formais de números. Para isso, ele utilizou o conceito de classe, na qual pode ser pensada como um conjunto de objetos com propriedades em comum, a exemplo, uma classe é um grupo capinhas de celular. Destaca-se que um dos  detalhes notório é que ,para cada capinha, pode-se associar um celular, que está associado a uma classe de celulares, de tal forma que existe associação biunívoca entre ambos.

    Porém, qualquer classe pode ser associada às anteriores, desde que haja apenas uma associação por elemento. Por que não, pensou Glottob, associar uma classe genérica que simboliza todas as demais classes, por exemplo, os números a essas. Dessa forma, o número onze é a classe que representa as demais classes onde existem essa quantidade de associações. 

   Tamanha conquista, contudo, não tardou a ser questionada, em especial, pelo matemático Bertrand Russell, que formulou uma inconsistência, atualmente conhecido como paradoxo do barbeiro, que colocava em xeque a teoria dos números. Nela, observou-se que ao definir os números como: “A classe de todas as classes que estão em correspondência a uma dada classe”, não existia delimitações para o que pode ser uma classe, ou quais  as restrições em sua definição.

   Em descompasso a essa aparente aberração lógica, matemáticos propuseram que ao invés de infinitas classes com propriedades em semelhança, que se usa-se  nada, literalmente, o nada. A genialidade dessa ideia, contudo, reside no fato de que o nada pode ser descrito como um conjunto vazio, no qual não existem nenhum elemento, tal como, o conjunto de triângulos com 5 lados ou os universos em que Ned Stark continua vivo. 

   Apesar de prosaica a ideia de que o conjunto vazio não possui elementos, o próprio conjunto é um elemento, assim como uma tupperware, quando vazia, não possui elementos, mas ela por si própria é um elemento. Então, como uma jogada de mestre, o número um, que simboliza as classes com uma associação, por exemplo, ficou definido como o conjunto com um elemento de conjunto vazio, o dois como um conjunto com dois elementos de conjunto vazio, e assim por diante.

   Ao analisar essas definições, podemos concluir algo, no mínimo, contraintuitivo e estranho, pois ao perceber que as origens dos números, algo tão comum no dia a dia, são esculpidas por conjuntos vazios, nos deparamos, como nas palavras de Ian Stewart, “com o terrível segredo da matemática: ela é toda baseada em nada” .

Autor : Gabriel Vincius Mufatto.

Referencias:

[1] Stewerat, I . O fantástico mundo dos números: A matemática do zero ao infinito.1. ed. Rio de Janeiro: Zahar. 2015.

[2]Frege,J.G. Os fundamentos da Aritimética: Uma investigação lógico -matemático sobre o conceito de número. 1884

[3] Matemática muleque 1| o que é número. Produção: MateMATHiago – pura matemática 2021. 1 vídeo ( 27 minutos). Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=HYH2JbILhjU&t=270s . Acessado em: 11 mar. 2023.

[4] Números: o que são, história e conjuntos. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/numeros/. Acessado em: 11 mar. 2023.