{"id":7505,"date":"2021-05-13T08:00:57","date_gmt":"2021-05-13T11:00:57","guid":{"rendered":"https:\/\/www3.unicentro.br\/petfisica\/?p=7505"},"modified":"2024-09-24T08:47:45","modified_gmt":"2024-09-24T11:47:45","slug":"uma-jornada-pela-conquista-do-infinito","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www3.unicentro.br\/petfisica\/2021\/05\/13\/uma-jornada-pela-conquista-do-infinito\/","title":{"rendered":"Uma jornada pela conquista do infinito"},"content":{"rendered":"
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[vc_row][vc_column][vc_column_text]<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0O que \u00e9 o infinito? Desde a Gr\u00e9cia Antiga existiam diversas especula\u00e7\u00f5es quanto esse tema, in\u00fameras respostas tentando explicar algo aparentemente simples. Mas a complexidade do infinito desafiou matem\u00e1ticos durante s\u00e9culos devido a quantidade enorme de paradoxos que surgiam quando novas ideias eram formadas. As respostas vagas a essa pergunta perduraram at\u00e9 o Renascimento, \u00e9poca em que as descobertas acerca do infinito se tornaram constantes. O cientista que mais contribuiu para o estudo do infinito foi Georg Cantor<\/a>, o qual introduziu a ideia de \u201ccontar infinitos\u201d por meio da cardinalidade [1, 2].<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Zen\u00e3o, do per\u00edodo da Gr\u00e9cia Antiga, formulou um paradoxo muito conhecido: da dicotomia, o qual mostra a impossibilidade da divis\u00e3o da mat\u00e9ria at\u00e9 ao infinito, ou seja, um objeto que tenha que percorrer uma dist\u00e2ncia L, por exemplo, deve primeiramente andar a metade da dist\u00e2ncia (L\/2), mas antes disso deve percorrer um quarto (L\/4) e assim por diante. Percebe-se, assim, que em termos te\u00f3ricos h\u00e1 uma infinidade de subdivis\u00f5es a serem percorridas para chegar no final desejado. Dessa maneira, o movimento \u00e9 impossibilitado quando analisado por esse ponto de vista [2,3].<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Ainda na Gr\u00e9cia Antiga, para contornar o problema do infinito os gregos da escola plat\u00f4nica utilizavam do m\u00e9todo da exaust\u00e3o1<\/sup>, este, como o pr\u00f3prio nome sugere, exaustivo e que demandava tempo demais. Posteriormente, no entanto, esse m\u00e9todo contribuiu para a forma\u00e7\u00e3o do conceito de limite [2,4].<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0J\u00e1 na Idade M\u00e9dia, existiam poucos registros sobre estudos acerca do infinito, os principais se situavam no final do per\u00edodo, no qual as ideias escol\u00e1sticas sobre o termo estavam presentes. Essas ideias foram retomadas e auxiliaram na formula\u00e7\u00e3o do c\u00e1lculo infinitesimal no s\u00e9culo XVII [2].<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Sem d\u00favida, o s\u00e9culo que mais teve conquistas desde a Gr\u00e9cia Antiga para responder \u00e0s quest\u00f5es do infinito foi o s\u00e9culo XVII. Foi nessa \u00e9poca que Galileu Galilei formulou uma correspond\u00eancia de um a um entre os n\u00fameros inteiros e os quadrados perfeitos (1, 4, 9, 16, …), ou seja, pode-se associar um elemento do conjunto dos n\u00fameros inteiros a um do conjunto dos quadrados perfeitos sem que \u201csobrem\u201d associa\u00e7\u00f5es, assim, o todo \u00e9 igual \u00e0 parte. No entanto, o cientista n\u00e3o acrescentou informa\u00e7\u00f5es sobre terem o mesmo \u201ctamanho\u201d, ou seja, o mesmo cardinal2<\/sup>, na verdade, at\u00e9 rejeitou essa ideia, afirmando n\u00e3o ser poss\u00edvel comparar seus tamanhos. Al\u00e9m disso, nesse per\u00edodo, Newton e Leibniz foram cruciais para o desenvolvimento do c\u00e1lculo infinitesimal, com tantas utiliza\u00e7\u00f5es na atualidade [1,2].<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0No s\u00e9culo XVIII, os matem\u00e1ticos come\u00e7aram a, lentamente, abandonar o conservadorismo na \u00e1rea. Parte dessa mudan\u00e7a se deve a Revolu\u00e7\u00e3o Francesa, a qual motivou a constru\u00e7\u00e3o de novas ideias e concep\u00e7\u00f5es. Essa \u00e9poca foi importante para a matem\u00e1tica pura, isto \u00e9, a ci\u00eancia n\u00e3o era apenas aplicada, mas deveria ser analisada e pensada de forma met\u00f3dica. Bolzano, nessa \u00e9poca, procurou por um m\u00e9todo de compara\u00e7\u00e3o entre conjuntos infinitos e, observando os estudos de Galilei sobre a correspond\u00eancia entre os n\u00fameros inteiros e os quadrados perfeitos, concluiu que sempre h\u00e1 correspond\u00eancia entre um conjunto infinito e um subconjunto pr\u00f3prio dele3<\/sup>. Contudo, afirmou que uma bije\u00e7\u00e3o4<\/sup> entre esses conjuntos n\u00e3o era suficiente para atestar a mesma cardinalidade [1,2].<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Os dois grandes nomes dos cientistas que ajudaram a conquistar o infinito s\u00e3o: Dedekind e Cantor. O primeiro conseguiu uma rela\u00e7\u00e3o biun\u00edvoca entre os pontos de uma reta e os n\u00fameros reais, formalizando o conceito de finitude: quando n\u00e3o h\u00e1 bije\u00e7\u00e3o entre o todo com sua parte, isto \u00e9, do conjunto com um subconjunto pr\u00f3prio. Cantor desenvolveu, por sua vez, a teoria dos n\u00fameros cardinais transfinitos. Os n\u00fameros transfinitos s\u00e3o utilizados para a contagem de elementos de um conjunto infinito. Assim, Cantor foi o respons\u00e1vel por mostrar que existem infinitos maiores que outros, impactando a sociedade acad\u00eamica da \u00e9poca [2].<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Al\u00e9m disso, Georg mostrou que existiam os conjuntos infinitos enumer\u00e1veis, com os quais \u00e9 poss\u00edvel estabelecer uma rela\u00e7\u00e3o biun\u00edvoca com os n\u00fameros naturais e os n\u00e3o-enumer\u00e1veis. O matem\u00e1tico provou que o conjunto dos racionais \u00e9 enumer\u00e1vel e, por outro lado, que o conjunto dos n\u00fameros reais \u00e9 n\u00e3o-enumer\u00e1vel. Para essa \u00faltima prova, utilizou-se do famoso m\u00e9todo da diagonal de Cantor [1,2].<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Dos estudos de Georg, surgiu uma pergunta intrigante que, posteriormente, foi chamada de Hip\u00f3tese do Continuum. Para entender essa hip\u00f3tese, devemos entender que o cardinal dos n\u00fameros reais \u00e9 estritamente maior que o cardinal dos n\u00fameros naturais. A conjectura afirma que n\u00e3o existe nenhum cardinal entre esses dois. Cantor tentou durante anos, sem sucesso, provar esse problema e morreu com dem\u00eancia em um hosp\u00edcio, em 1918. Foi apenas em 1963 que Paul Cohen demonstrou que a Hip\u00f3tese poderia ser verdadeira e falsa, a depender da matem\u00e1tica utilizada [1].<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Nos dias atuais, o conceito de infinito est\u00e1 bem definido e formalizado e \u00e9 amplamente aceito pela comunidade cient\u00edfica. No entanto, para chegarmos onde estamos hoje, pode-se perceber que o caminho foi longo e houveram diversos debates entre mentes brilhantes da Matem\u00e1tica. Como pontua David Hilbert:<\/span><\/p>\n

\u201cNingu\u00e9m nos expulsar\u00e1 do para\u00edso que Georg Cantor abriu para n\u00f3s.\u201d<\/em><\/span><\/p>\n

    \n
  1. M\u00e9todo de exaust\u00e3o: t\u00e9cnica para determinar a \u00e1rea de uma regi\u00e3o, inscrevendo nela outra figura poligonal com diversos lados e \u00e1rea conhecida, a fim de obter uma boa aproxima\u00e7\u00e3o e facilitar o c\u00e1lculo.<\/span><\/li>\n
  2. \u00a0Cardinalidade: no\u00e7\u00e3o da quantidade de elementos de um conjunto.<\/span><\/li>\n
  3. Subconjunto pr\u00f3prio: Se A e B s\u00e3o conjuntos, A \u00e9 subconjunto pr\u00f3prio de B se cada elemento de A est\u00e1 em B, mas existe algum elemento em B que n\u00e3o est\u00e1 em A.<\/span><\/li>\n
  4. Bije\u00e7\u00e3o: Correspond\u00eancia biun\u00edvoca, ou seja, de um-a-um entre os elementos dos dois conjuntos. Uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 bijetora quando for injetora e sobrejetora.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n

    Autora:<\/strong> Rieli Tain\u00e1 Gomes dos Santos<\/span><\/p>\n

    Refer\u00eancias:<\/strong><\/span><\/p>\n

    [1] CARREIRA ANDRADE, Maria Gorete. Um breve passeio ao infinito real de Cantor. Jo\u00e3o Pessoa \u2013 PB:UFPB, 2010 v. 1, p. 1-10.<\/span><\/p>\n

    [2] SAMPAIO, Patr\u00edcia Alexandra. Infinito, uma hist\u00f3ria a contar. Reposit\u00f3rio Cient\u00edfico do Instituto Polit\u00e9cnico de Viseu. Revista Millenium, n\u00ba 34, abril de 2008.<\/span><\/p>\n

    [3] \u00c1VILA, Geraldo. O paradoxo de Zen\u00e3o. Revista do professor de matem\u00e1tica, n\u00ba 39.<\/span><\/p>\n

    [4] TREVISAN, Andr\u00e9; GOES, Higgor. O M\u00e9todo da Exaust\u00e3o e o c\u00e1lculo de \u00e1reas: proposta e uma tarefa com aux\u00edlio do Geogebra. Educa\u00e7\u00e3o Matem\u00e1tica em Revista. 2016 v. 52. 79-85.<\/span><\/p>\n

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