{"id":7122,"date":"2020-11-26T11:22:35","date_gmt":"2020-11-26T14:22:35","guid":{"rendered":"https:\/\/www3.unicentro.br\/petfisica\/?p=7122"},"modified":"2021-09-06T04:08:11","modified_gmt":"2021-09-06T07:08:11","slug":"12","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www3.unicentro.br\/petfisica\/2020\/11\/26\/12\/","title":{"rendered":"1=2?"},"content":{"rendered":"
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\u00a0 \u00a0Tudo o que vemos ao nosso redor est\u00e1 repleto de Matem\u00e1tica em suas bases, desde o n\u00famero de p\u00e9talas em uma flor at\u00e9 o funcionamento de um computador qu\u00e2ntico.\u00a0 N\u00e3o h\u00e1 como negar que o ser humano conseguiu in\u00fameras fa\u00e7anhas tecnol\u00f3gicas quando come\u00e7ou a entender e manipular os n\u00fameros. Uma parte fundamental da Matem\u00e1tica, chamada por muitos estudiosos de ci\u00eancia dos n\u00fameros<\/em>, \u00e9 a aritm\u00e9tica, ramo que estuda os algarismos e as poss\u00edveis opera\u00e7\u00f5es entre eles.<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Antes de adentrar no assunto propriamente dito deste blog, vamos a algumas simples defini\u00e7\u00f5es:<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Um sistema \u00e9 chamado de completo quando demonstrar ou ent\u00e3o refutar qualquer afirma\u00e7\u00e3o presente nele, isto \u00e9, tudo dentro dele pode ser provado ou ent\u00e3o refutado a partir de axiomas. Al\u00e9m disso, um sistema \u00e9 dito consistente quando n\u00e3o demonstrar contradi\u00e7\u00f5es e isso deve ser feito sob objetos finitos e concretos.\u00a0 A pergunta \u00e9: a aritm\u00e9tica \u00e9 completa e consistente? Ser\u00e1 que todos os problemas matem\u00e1ticos possuem provas concretas?<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Essa primeira pergunta foi o segundo t\u00f3pico abordado pelo matem\u00e1tico formalista David Hilbert, em 1900, no Congresso Internacional de Matem\u00e1ticos de Paris<\/em>. Como formalista, ele acreditava que seria poss\u00edvel encontrar um conjunto de axiomas completos e consistentes que fundamentaria toda a Matem\u00e1tica. Assim, ele prop\u00f4s, nesse evento, os 23 grandes problemas abertos em Matem\u00e1tica, alguns sem solu\u00e7\u00e3o at\u00e9 os dias de hoje, como a famosa hip\u00f3tese de Riemann e alguns deles que j\u00e1 foram resolvidos por grandes cientistas com uma intelig\u00eancia extraordin\u00e1ria.<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Vamos entender as motiva\u00e7\u00f5es hist\u00f3ricas por tr\u00e1s do problema da consist\u00eancia dos axiomas da aritm\u00e9tica proposto por Hilbert. No in\u00edcio do s\u00e9culo XIX, a geometria n\u00e3o-euclidiana come\u00e7ava a ser formulada. Matem\u00e1ticos estavam ultrapassando os limites da geometria euclidiana e encontrando resultados tidos como absurdos, mas que, ainda assim, eram logicamente v\u00e1lidos. Sabia-se que para essa \u2018nova\u2019 geometria ser consistente, ela deveria ser em rela\u00e7\u00e3o a euclidiana. Anos se passaram e, apenas no final desse mesmo s\u00e9culo, o mais perto da prova que chegaram desta consist\u00eancia fora que, a geometria euclidiana seria consistente se a aritm\u00e9tica fosse tamb\u00e9m.<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0No come\u00e7o do s\u00e9culo XX, dois matem\u00e1ticos influentes da \u00e9poca, Alfred Whitehead e Bertrand Russell<\/a>, escreveram o livro de fundamentos matem\u00e1ticos Principia Mathematica<\/em>. Foram escritas centenas de p\u00e1ginas at\u00e9 que se provasse com sufici\u00eancia que 1+1=2. Eles partiram de axiomas (verdades n\u00e3o comprovadas, mas \u00f3bvias), aplicando a l\u00f3gica formal para comprovar os teoremas. Apesar dos in\u00fameros esfor\u00e7os, a consist\u00eancia da aritm\u00e9tica ainda era um problema aberto.<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Os matem\u00e1ticos dessa \u00e9poca, assim como Hilbert, acreditavam que com tempo e dedica\u00e7\u00e3o todos as quest\u00f5es n\u00e3o solucionadas em Matem\u00e1tica seriam resolvidas. Ent\u00e3o, um perspicaz matem\u00e1tico l\u00f3gico, Kurt G\u00f6del, amigo pr\u00f3ximo de Albert Einstein<\/a>, ousou contradizer os formalistas e, em 1931, provou que a afirma\u00e7\u00e3o do segundo problema de Hilbert era imposs\u00edvel e que a aritm\u00e9tica \u00e9 incompleta. Essa prova constitui os dois Teoremas da Incompletude de G\u00f6del.<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Em linhas gerais, G\u00f6del provou que se a aritm\u00e9tica \u00e9 consistente, ent\u00e3o ela \u00e9 incompleta. Isto \u00e9, se n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel encontrar contradi\u00e7\u00f5es no sistema a partir de seus axiomas (consist\u00eancia), ent\u00e3o n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel demonstrar todas as afirma\u00e7\u00f5es contidas nesse sistema (incompletude). Assim, existem verdades matem\u00e1ticas que n\u00e3o podem ser demonstradas.<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Isso, com toda certeza, revolucionou a Matem\u00e1tica, a qual, na \u00e9poca, era majoritariamente composta por formalistas. Dessa forma, as certezas que os matem\u00e1ticos acreditavam ter foram derrubadas por apenas dois teoremas. At\u00e9 os dias atuais os Teoremas da Incompletude impactam a sociedade.<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Sabe aquelas contas em que, no final, encontramos um resultado como 1=2, por exemplo? No desenvolvimento da equa\u00e7\u00e3o sempre tem alguma indetermina\u00e7\u00e3o que invalida o sistema. Mas \u00e9 comprovadamente imposs\u00edvel que a aritm\u00e9tica, como sistema formal, gere resultados tais quais 1=2? De acordo com G\u00f6del, n\u00e3o \u00e9 imposs\u00edvel.<\/span><\/p>\n

Texto por:<\/strong> Rieli Tain\u00e1 Gomes dos Santos<\/span><\/span><\/p>\n

Refer\u00eancias:\u00a0<\/span><\/strong><\/p>\n

Batistela, R., Bicudo, M., Lazari, H. Cen\u00e1rio do Surgimento e o Impacto do Teorema da Incompletude de G\u00f6del na Matem\u00e1tica. Jornal Internacional de Estudos em Educa\u00e7\u00e3o Matem\u00e1tica, 2018.\u00a0<\/span><\/p>\n

Netto, F. Os Teoremas de G\u00f6del. Cadernos do IME- Serie Matem\u00e1tica, vol.23, 2011.<\/span><\/p>\n

D’Alkaine, C.V. Os trabalhos de G\u00f6del e as denominadas ci\u00eancias exatas: em homenagem ao centen\u00e1rio do nascimento de Kurt G\u00f6del.<\/span> Revista Bras. Ensino F\u00edsica, S\u00e3o Paulo, vol.28, n.4, p. 525-530, 2006.<\/span><\/span><\/p>\n

Gaspar, Jaime. Primeiro Teorema da Incompletude de G\u00f6del. Revista Matem\u00e1tica Universit\u00e1ria, n.54, 2018.<\/span><\/p>\n

Pi\u00f1eiro, G. G\u00f6del, o matem\u00e1tico que ousou levantar o bra\u00e7o quando todos se calaram. National Geographic Portugal. Dispon\u00edvel em: https:\/\/nationalgeographic.sapo.pt\/historia\/grandes-reportagens\/1304-ed-especial-godel-mai2017.<\/span><\/h2>\n

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