{"id":16622,"date":"2026-02-21T17:37:49","date_gmt":"2026-02-21T20:37:49","guid":{"rendered":"https:\/\/www3.unicentro.br\/petfisica\/?p=16622"},"modified":"2026-02-22T14:03:14","modified_gmt":"2026-02-22T17:03:14","slug":"paradoxo-de-benach-tarski","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www3.unicentro.br\/petfisica\/2026\/02\/21\/paradoxo-de-benach-tarski\/","title":{"rendered":"Paradoxo de Benach-Tarski"},"content":{"rendered":"

[vc_row][vc_column][vc_column_text]\u00a0 \u00a0<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0H\u00e1 mil\u00eanios, a matem\u00e1tica nos ajuda a compreender o mundo. Seja para contar o n\u00famero de ovelhas em um rebanho, ou para criar algoritmos de criptografia que protegem as transa\u00e7\u00f5es banc\u00e1rias, sempre pudemos contar com a matem\u00e1tica para nos orientar nas atividades mundanas. Mesmo nos casos onde encontramos\u00a0 resultados absurdos (como 1+1=3), supomos que o matem\u00e1tico errou as contas; afinal, a matem\u00e1tica nunca erra. Mas e se, em algum momento,\u00a0 um <\/span>matem\u00e1tico provasse <\/b>um resultado t\u00e3o bizarro que desafiasse o pr\u00f3prio senso comum e a no\u00e7\u00e3o de realidade, como dever\u00edamos agir? Afinal de contas, a matem\u00e1tica nunca erra, certo?<\/span><\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Mas e se, por exemplo, ela conclu\u00edsse que \u00e9 poss\u00edvel rasgar uma nota de cem reais e obter outras duas id\u00eanticas \u2014 o que sabemos ser imposs\u00edvel \u2014, devemos concluir que ela est\u00e1 errada?<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Aos que argumentam que esse exemplo foi p\u00e9ssimo, pois a matem\u00e1tica jamais demonstraria algo do tipo, trago um paradoxo um tanto singular que, embora mais modesto, mostra que, \u00e0s vezes, a matem\u00e1tica d\u00e1 resultados que contrariam aquilo que conhecemos como realidade.<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0O Paradoxo de Banach\u2013Tarski afirma que \u00e9 poss\u00edvel decompor uma esfera de <\/span>volume finito<\/b> em outras duas esferas <\/span>id\u00eanticas \u00e0 original<\/b>! Apesar de ser chamado de paradoxo, trata-se de um <\/span>teorema matem\u00e1tico<\/b>. Como se imagina, sua demonstra\u00e7\u00e3o \u00e9 deveras complexa e envolve conceitos bastante abstratos da teoria dos conjuntos. No entanto, para fins did\u00e1ticos, utilizaremos uma demonstra\u00e7\u00e3o \u201cing\u00eanua\u201d que busca transmitir a ideia central do teorema de maneira intuitiva, ainda que sem rigor matem\u00e1tico.<\/span><\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0O primeiro passo consiste em encontrar uma forma de <\/span>caracterizar<\/b> todos os pontos de uma esfera de volume finito. Por meio da clarivid\u00eancia, adotaremos a seguinte ideia: se pintarmos cada ponto da <\/span>superf\u00edcie da esfera<\/b>, podemos estender cada marca\u00e7\u00e3o com uma reta at\u00e9 o centro da figura\u00a0 (tal como um ouri\u00e7o-do-mar).\u00a0 Consequentemente,\u00a0 a esfera passa a ser caracterizada apenas pelos pontos em sua superf\u00edcie; dessa maneira, reduzindo drasticamente a dificuldade do desafio.\u00a0<\/span><\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0O pr\u00f3ximo passo \u00e9 atribuir uma\u00a0 coordenada a cada ponto dessa superf\u00edcie. Inspirados no mecanismo de localiza\u00e7\u00e3o dos pontos da superf\u00edcie da Terra, que \u00e9 dada pela latitude e longitude, podemos adotar a seguinte abordagem: no centro do \u201cmapa\u201d1<\/sup><\/span> da esfera,\u00a0 desenhamos duas retas: uma no eixo norte-sul (N-S) e outra no eixo leste-oeste (L-O). Dessa maneira, podemos localizar qualquer ponto na superf\u00edcie da esfera por meio dos movimentos nessas duas dire\u00e7\u00f5es.<\/span><\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Antes de prosseguirmos, precisamos destacar algumas sutilezas do m\u00e9todo que estamos utilizando. Para tal, considere o seguinte exemplo: um determinado ponto no mapa pode ser alcan\u00e7ado movendo-se uma vez para o norte e, em seguida, duas vezes para o leste. Nesse caso, adotaremos a nomenclatura LLN2<\/sup><\/span> para identific\u00e1-lo. No entanto, se o pr\u00f3ximo movimento fosse para oeste, ele cancelaria um dos movimentos para leste.\u00a0 Portanto, a sequ\u00eancia resultante de OLLN \u00e9 LN. Desta forma, conclu\u00edmos <\/span>que movimentos na mesma dire\u00e7\u00e3o e em sentidos opostos se anulam.<\/b><\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Com essas ressalvas em mente, podemos, agora, definir cada ponto da\u00a0 superf\u00edcie da esfera por uma dessas sequ\u00eancias; consequentemente, como h\u00e1 <\/span>infinitos pontos<\/b>, haver\u00e1 i<\/span>nfinitas sequ\u00eancias<\/b>. Para simplificar a an\u00e1lise do problema, podemos organizar essas sequ\u00eancias em quatro grandes grupos: um\u00a0 em que a sequ\u00eancia termina em N, outra em S, outra em L e outra em O. Neste ponto est\u00e1 a chave da an\u00e1lise: como o<\/span> n\u00famero de pontos \u00e9 infinito, <\/b>h\u00e1<\/span> infinitas sequ\u00eancias em cada grupo<\/b>; consequentemente, dentro de cada grupo, encontram-se <\/span>todas as sequ\u00eancias poss\u00edveis<\/b> que terminam com o movimento espec\u00edfico do grupo – com exce\u00e7\u00e3o daquelas que envolvem a dire\u00e7\u00e3o oposta.<\/span><\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Agora (finalmente!), temos todos os elementos necess\u00e1rios para demonstrar o teorema. Comecemos separando os 4 grupos. Em seguida, tomamos o grupo N, o qual tem alguns de seus\u00a0 elementos ilustrados a seguir:<\/span><\/p>\n

NN, NNN, NNN, \u2026<\/span><\/p>\n

NO, NOO, NOO, \u2026<\/span><\/p>\n

NL, NLL, NLL,…<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0O pr\u00f3ximo passo consiste em aplicar um movimento S a todos os elementos desse grupo, gerando o seguinte conjunto:\u00a0<\/span><\/p>\n

SN, SNN, SNNN, \u2026<\/span><\/p>\n

SNO, SNOO, SNOOO, \u2026<\/span><\/p>\n

SNL, SNL, SNLLL, \u2026<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0No entanto, conforme estabelecido anteriormente, um movimento para o <\/span>s<\/span>ul (S) cancela um movimento para <\/span>n<\/span>orte (N). Aplicando essa regra, cada sequ\u00eancia do novo conjunto se simplifica para:\u00a0<\/span><\/span><\/p>\n

N, NN, NNN, \u2026<\/span><\/p>\n

O, OO, OOO, \u2026<\/span><\/p>\n

L, LL, LLL, \u2026<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Perceba, portanto, que essa opera\u00e7\u00e3o transformou o <\/span>grupo N original em elementos dos grupos O, L e N<\/b>. Se tomarmos essa nova cole\u00e7\u00e3o e adicionarmos o grupo inicial S, obtemos <\/span>uma configura\u00e7\u00e3o que corresponde a uma c\u00f3pia completa de todos os pontos da esfera original<\/b>.<\/span><\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Neste ponto, alguns dos leitores atentos (imagino) perceberam que, <\/span>al\u00e9m<\/b> da c\u00f3pia da esfera original, ainda h\u00e1 os grupos O e L que, sozinhos, n\u00e3o possuem grande relev\u00e2ncia. No entanto – aqui entra a parte fant\u00e1stica -, se repetirmos o processo descrito no grupo O (ou L), conseguimos gerar novamente os grupos N, S, L (ou O) e, portanto<\/span>, reconstruir mais uma esfera completa<\/b> (tente demonstrar!)<\/span>.\u00a0<\/b><\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Ao fim dessa tortuosa s\u00e9rie de l\u00f3gicas, enfim, mostramos que podemos construir, a partir de uma \u00fanica esfera, outras duas id\u00eanticas. O paradoxo foi provado.<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Diante dessa confirma\u00e7\u00e3o, imagino e espero que muitos leitores devam estar perplexos com esse resultado; afinal, por mais que acabemos de provar, ningu\u00e9m jamais observou ou produziu duas esferas a partir de uma \u00fanica. Se a matem\u00e1tica descreve a realidade, como algo t\u00e3o inveross\u00edmil pode ser verdadeiro? Neste momento, devemos nos lembrar de que, embora seja fruto da nossa necessidade de compreender o mundo, a matem\u00e1tica n\u00e3o est\u00e1 acorrentada a ele. Frequentemente, ela se depara com ideias que sequer podem ser descritas no mundo real. Por exemplo, uma formula\u00e7\u00e3o alternativa do Paradoxo de Banach-Tarski afirma ser poss\u00edvel transformar uma esfera do tamanho de uma p\u00eara em outra do tamanho do Sol. No entanto, para isso, \u00e9 necess\u00e1rio decompor a p\u00eara em partes t\u00e3o bizarras, t\u00e3o al\u00e9m da nossa intui\u00e7\u00e3o, que algumas sequer teriam qualquer medida de tamanho.<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0No fim, talvez sejamos n\u00f3s que, na brevidade de nossas vidas e na limita\u00e7\u00e3o do nosso entendimento, jamais compreenderemos realmente a rela\u00e7\u00e3o dual entre matem\u00e1tica e realidade.<\/span><\/p>\n

Autor: Gabriel Vinicius Mufatto.<\/span><\/p>\n

Refer\u00eancias\u00a0<\/b><\/span><\/p>\n

GAMA, Lucas Barbosa. <\/span>O paradoxo de Banach-Tarski<\/b>. 2016. Trabalho de Conclus\u00e3o de Curso (Bacharelado em Matem\u00e1tica) \u2014 Instituto de Ci\u00eancias Exatas, Universidade Federal Fluminense, Volta Redonda, 2016.<\/span><\/span><\/p>\n

Tem Ci\u00eancia. PARADOXO de Banach-Tarski: o mais ESTRANHO da Matem\u00e1tica!. Youtube Dispon\u00edvel em: <\/span>https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6O357axfNjg<\/span><\/a>. Acesso em: 2 fev. 2026.\u00a0<\/span><\/span><\/p>\n

Vsauce. The Banach\u2013Tarski Paradox. Youtube. Dispon\u00edvel em: <\/span>https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=s86-Z-CbaHA<\/span><\/a>. Acesso em: 2 fev. 2026.<\/span><\/span><\/p>\n

\n

1.<\/span>\u00a0<\/span><\/sup>No sistema de coordenadas geogr\u00e1ficas, transforma-se uma esfera em um mapa plano.<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

2.\u00a0<\/span><\/sup><\/span>Como estamos lidando com uma esfera, cada movimento corresponde a uma rota\u00e7\u00e3o, a qual pode ser descrita por uma matriz. Nesse caso, as rota\u00e7\u00f5es seguem a conven\u00e7\u00e3o matricial, sendo lida da direita para a esquerda.<\/span><\/p>\n

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