{"id":10402,"date":"2023-10-04T08:00:43","date_gmt":"2023-10-04T11:00:43","guid":{"rendered":"https:\/\/www3.unicentro.br\/petfisica\/?p=10402"},"modified":"2023-12-31T11:59:52","modified_gmt":"2023-12-31T14:59:52","slug":"numeros-imaginarios","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www3.unicentro.br\/petfisica\/2023\/10\/04\/numeros-imaginarios\/","title":{"rendered":"N\u00fameros Imagin\u00e1rios"},"content":{"rendered":"

[vc_row][vc_column][vc_column_text]<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Ao longo da hist\u00f3ria muitas civiliza\u00e7\u00f5es chegaram na solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o quadrada (de segundo grau), <\/span>ax2<\/sup><\/span><\/i>\u00a0<\/span>+ <\/span>bx\u00a0<\/span><\/i>+ <\/span>c <\/span><\/i>= 0, que \u00e9 a famosa f\u00f3rmula de Bhaskara que aprendemos na escola [1]. Por\u00e9m, algumas formas espec\u00edficas dessas equa\u00e7\u00f5es aparentavam n\u00e3o ter solu\u00e7\u00e3o. Tomemos como exemplo <\/span>x<\/span><\/i>2<\/span><\/em><\/sup>\u00a0+ 1 = 0. O resultado seria \u221a(<\/span>-1)<\/span>, o que n\u00e3o faz sentido, j\u00e1 que n\u00e3o existe raiz quadrada de n\u00fameros negativos (pelo menos no mundo real) [2].<\/span><\/span><\/p>\n

\u00a0 Em 1494, o frade italiano Luca Pacioli publicou um livro intitulado \u201cSumma de Arithmetica\u201d, no qual englobava todo o conhecimento da \u00e9poca a respeito de \u00e1lgebra e geometria. Um dos problemas em aberto era o da equa\u00e7\u00e3o c\u00fabica (de terceiro grau): <\/span>ax<\/span><\/i>3 <\/span><\/sup>+ <\/span>bx<\/span><\/i>2 <\/span><\/sup>+ <\/span>cx <\/span><\/i>+ <\/span>d <\/span><\/i>= 0. Pacioli afirmou em sua obra que n\u00e3o existia solu\u00e7\u00e3o para essa equa\u00e7\u00e3o [1,3].<\/span><\/span><\/p>\n

\u00a0 Parte disso se deve ao fato de que, desde a Antiguidade at\u00e9 meados da Idade Moderna, os matem\u00e1ticos n\u00e3o pensavam nos problemas somente por f\u00f3rmulas como fazemos hoje, mas sim em palavras, poemas e formas geom\u00e9tricas. Uma maneira de provar a f\u00f3rmula de Bhaskara, por exemplo, \u00e9 usando a \u00e1rea de quadrados e ret\u00e2ngulos (veja <\/span>aqui<\/span><\/a>). Por\u00e9m, isso \u00e9 mais complicado no caso da equa\u00e7\u00e3o c\u00fabica [1].<\/span><\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0No in\u00edcio do s\u00e9culo XVI v\u00e1rios matem\u00e1ticos estudaram o problema da equa\u00e7\u00e3o de terceiro grau, dentre eles est\u00e3o Scipione del Ferro, Niccol\u00f2 Fontana Tartaglia, Girolamo Cardano e Rafael Bombelli [1,3].\u00a0<\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Del Ferro obteve a solu\u00e7\u00e3o para a equa\u00e7\u00e3o c\u00fabica reduzida (sem o termo <\/span>x2<\/sup><\/span><\/i>, ax<\/i>3 <\/sup>+ bx<\/i>\u00a0<\/sup>+ c = 0<\/span>) de forma geom\u00e9trica utilizando cubos, mas n\u00e3o revelou sua descoberta a ningu\u00e9m. Na \u00e9poca, ter a solu\u00e7\u00e3o de um problema era como ter uma arma estrat\u00e9gica, pois era comum haver \u201cduelos\u201d entre matem\u00e1ticos em que cada um dava uma sele\u00e7\u00e3o de problemas para o outro resolver [1].<\/span><\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0Tartaglia tamb\u00e9m encontrou a solu\u00e7\u00e3o para a equa\u00e7\u00e3o c\u00fabica reduzida, e acabou compartilhando-a com Cardano depois de muita insist\u00eancia. Cardano, por\u00e9m, empenhou-se em tentar solucionar a equa\u00e7\u00e3o c\u00fabica completa, inclu\u00eddo o termo <\/span>x2<\/sup><\/span><\/i>. Ele de fato conseguiu esse feito atrav\u00e9s de substitui\u00e7\u00f5es que faziam o problema ser simplificado ao caso da equa\u00e7\u00e3o c\u00fabica reduzida [1,3].<\/span><\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0No processo de solu\u00e7\u00e3o dessas equa\u00e7\u00f5es ainda apareciam as ra\u00edzes de n\u00fameros negativos, o que Cardano interpretou como uma esp\u00e9cie de \u201c\u00e1rea negativa\u201d. Mas agora, ao contr\u00e1rio do caso da equa\u00e7\u00e3o do segundo grau onde a solu\u00e7\u00e3o n\u00e3o existia, essas ra\u00edzes de n\u00fameros negativos eram usadas como passo intermedi\u00e1rio para chegar na solu\u00e7\u00e3o correta, resultando em um n\u00famero real [1].<\/span><\/p>\n

\u00a0 Rafael Bombelli mostrou posteriormente que os termos que continham ra\u00edzes de n\u00fameros negativos nas f\u00f3rmulas de Cardano podiam ser reduzidas a <\/span>a + b\u221a<\/span><\/i>(-1)<\/span>, sendo chamados de n\u00fameros complexos. E Leonhard Euler<\/a> popularizou a nota\u00e7\u00e3o de <\/span>i = <\/span><\/i>\u221a(-1)<\/span>\u00a0como sendo a unidade imagin\u00e1ria [1].<\/span><\/span><\/p>\n

\u00a0 \u00a0O fato da representa\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica, de algo que existe apenas de forma abstrata, poder resolver problemas reais \u00e9 realmente surpreendente. Um dos exemplos mais interessantes disso est\u00e1<\/span> presente na F\u00edsica atrav\u00e9s da equa\u00e7\u00e3o de Schr\u00f6dinger<\/a>:<\/span><\/span><\/p>\n

\"\"<\/span><\/div>\n

Quando Schr\u00f6dinger adicionou nela a unidade imagin\u00e1ria <\/span>i<\/span><\/i>, ele conseguiu obter as solu\u00e7\u00f5es da fun\u00e7\u00e3o de onda \u03a8(<\/span>r<\/b>, t) que correspondem \u00e0s \u00f3rbitas quantizadas do \u00e1tomo de Bohr!<\/span>\u00a0Isso mostra que a natureza funciona com n\u00fameros imagin\u00e1rios. E a descoberta de <\/span>i <\/span><\/i>tornou-se uma ferramenta fundamental para ajudar-nos a entender a realidade [1].<\/span><\/span><\/p>\n

Texto por:<\/strong> Cristhian Gean Batista Guimar\u00e3es.<\/span><\/span><\/p>\n

Refer\u00eancias:<\/span><\/strong><\/p>\n

[1] Veritasium. <\/span>How Imaginary Numbers Were Invented<\/b>. YouTube: 1 nov. 2021. Dispon\u00edvel em: <\/span>https:\/\/youtu.be\/cUzklzVXJwo?si=NtIb8OK3KDwOzoHJ<\/span><\/a>. Acesso em: 18 set. 2023.<\/span><\/span><\/p>\n

[2] Welch Labs. <\/span>N\u00fameros Imagin\u00e1rios s\u00e3o reais [Parte 1: Introdu\u00e7\u00e3o]<\/b>. YouTube: 28 ago. 2015. Dispon\u00edvel em: <\/span>https:\/\/youtu.be\/T647CGsuOVU?si=0Fxd1cy_IZzTNGGF<\/span><\/a>. Acesso em: 18 set. 2023.<\/span><\/span><\/p>\n

[3] NAHIN, P. J. <\/span>An Imaginary Tale<\/b>. New Jersey: Princeton University Press, 1998.<\/span><\/span><\/p>\n

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